求可导函f(x)的单调区间的步骤
1.确定f(x)的定义域(a,b).
2.求f(x)的导数f(x).
3.求出f′(x)=0在(a,b)内的实根,x(i=1,2,…n)并按从小到大的顺序排列为x,x,…x.
4.确定区间(a,x)、(x,x)、…、(x,b)内的导数f(x)的符号.
5.判断,若f(x)在某区间,有f(x)>0,则这个区间为单调递增区间;若f(x)在某区间,有f′(x)<0,则这个区间是单调递减区间.
例1 求函数y=—1/4(x—4x+3)的单调区间.
解y=—1/4(x—4x+3),
y′=—x+3x=—x(x—3).
当x∈(—∞,0)时,y′>0,函数是增函数,当x∈(0,3)时,y′>0,函数也是增函数,当x=0时,y=—3/4.
∴函数的增区间为:(—∞,0)、(0,3).
当x∈(3,+∞)时,y′<0,函数是减函数.
函数的增减情况可列成下表:
例2 函数y=ax—x在(—∞,+∞)上是减函数,则( ).
A.a=1/3 B.a=1
C.a=2 D.a<0
解 y′=3ax—1,由函数y=ax—x在(—∞,+∞)上是减函数,则3ax—1<0恒成立,即ax<1/3对任意x∈(—∞,+∞)都成立,∴a<0.
本题也可以采用解选择题的常用方法——验证法,由y′=3ax—1,当a=1/3时,y′=x—1,如果x>1则y′>0与条件不符,同样可判断a=1,a=2时也不符合题意,当a<0时,y′=3ax—1恒小于0,则原函数在(—∞,+∞)上是减函数,故选D.
例3 证明函数f(x)=lnsinx在区间(3/2π,2π)上是减函数.
解 f(x)=lnsinx.
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