等差数列的基本性质

设{a}是等差数列，那么

1．a=a+(n—m)d． (m，n∈N)

2．如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则a+a=a+a，特别的当m+n=2p时，a+a=2a．

3．数列{λa+b}(a、b为常数)是公差为λd的等差数列．

4．若{b}也是公差为d的等差数列，那么{λa+λb}(λ，λ为常数)也是等差数列，公差为λd+λd．

5．下标成等差数列，且公差为m的项a，a，a，…组成的数列仍是等差数列，公差为md，

一个等差数列，由始到尾，截成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含n项，则新公差为原公差的n倍，即：在等差数列{a}中，公差为d．

设T=a+a+…+a；

T=a+a+…+a；

T=a+a+…+a；

…

T=a+a+…+a(n∈N)．

对于固定的n，数列{T}是等差数列，其公差为nd．

6．若项数为2n(n∈N)，则S=n(a+a)(a，a为中间二项)，且S—S=nd，．

若项数为2n—1，则S=(2n1)a(a为中间项)，且S奇—S=a， ．

7．当时，S有最大值，此时n满足．

当时，S有最小值，此时n满足．

例1 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．

分析 利用概念、公式列方程组求解．

解 设第一个数是a，公差为d，由已知条件列出方程组

这5个数分别是

例2 等差数列的前n项和为S，若S=84，S=460，求S．

分析 这是一个等差数列的求和公式的基本应用题，必须对等差数列的前n项和公式的几种形式非常熟悉．

解 设等差数列{a}的首项为a，公差为d，则．

由S=84，S=460得

解得a=—15，d=4．

例3 设实数a≠0，且函数f(x)=a(x+1)—()有最小值—1．

(1)求a的值；

(2)设数列{a}的前n项和S=f(n)，令证明数列{b}是等差数列．

a>0，解得a=1，a=—2(舍去)．

(2)证明：由(1)得f(x)=x—2x，

∴S=n—2n，a=S=—1．

当n≥2时，a=S—S=n—2n(n—1)+2(n—1)=2n—3，a满足上式即a=2n—3，

∵a—a=2(n+1)—3—2n+3=2，

∴数列{a}是首项为—1，公差为2的等差数列．

∴{b}是以1为首项，2为公差的等差数列．