绝对值不等式的性质定理

|a|—|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例1 解不等式|x—4|≤x+2．

解 原不等式可化为等价不等式；

—(x+2)≤x—4≤x+2化为等价不等式组：

∴原不等式的解为

{x|x=—2或1≤x≤3}．

例2 设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：．

分析 本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|，|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息，m≥|a|、m≥|b|、m≥1．

例3 解不等式|2x+5|—|x—4|<2x+3

解 在同一坐标系中作出函数

由|2x+5|—|x—4|=2x+3解得x=—4或x=2或x=6，即两函数交点的横坐标分别为—4，2，6．函数y=|2x+5|—|x—4|的图象位于直线y=2x+3下方部分上各点的横坐标集合，就是所求不等式的解集，即{x|—46}．