正余弦定理的适用题型

书籍:高中数理化公式定理大全 作者:雷扬, 欧阳占宝, 夏力安 朝代:2008-10-01 专题:书籍

1.余弦定理的适用题型.

①已知三边,求三角.

②已知两边及其夹角,求第三边.

2.正弦定理的适用题型

①已知两角及一边,求其余的边和角.

②已知两边和一边所对的角,求其余的边和角.

但此种类型有多解的情形,具体解的情况举例说明.

如已知a,b和A求B时,解的情况如下:

A为锐角时,1°a

2°a=bsinA,一解.

3°bsinA

4°a≥b,一解.

A为直角或钝角时,1°a≤b,无解.

2°a>b,一解.

例1 在△ABC中,已知c—2(a+b)c+a+ab+b=0,求角C.

分析 将关于三边的等式进行适当变形,利用余弦定理求角.

例2 在△ABC中,已知,B=45°,求A、C和c.

分析 这是已知两边一对角解三角形的问题,可用正弦定理求解,但先要判定△ABC是否有解,有几解,亦可用余弦定理求解.

解 ∵B=45°<90°,且b

由正弦定理得

例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.

解 如图,连结BD,则有四边形ABCD的面积

由余弦定理,在△ABD中

BD=AB+AD—2AB·ADcosA

=2+4—2×2×4cosA

=20—16cosA.

在△CDB中,

BD=CB+CD—2CB·CDcosC

=6+4—2×6×4cosC

=52—48cosC.

∵20—16cosA=52—48cosC,

∵cosC=—cosA,

∴64cosA=—32,cosA=—1/2.

∴A=120°,∴

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