正余弦定理的适用题型
1.余弦定理的适用题型.
①已知三边,求三角.
②已知两边及其夹角,求第三边.
2.正弦定理的适用题型
①已知两角及一边,求其余的边和角.
②已知两边和一边所对的角,求其余的边和角.
但此种类型有多解的情形,具体解的情况举例说明.
如已知a,b和A求B时,解的情况如下:
A为锐角时,1°a
2°a=bsinA,一解.
3°bsinA
4°a≥b,一解.
A为直角或钝角时,1°a≤b,无解.
2°a>b,一解.
例1 在△ABC中,已知c—2(a+b)c+a+ab+b=0,求角C.
分析 将关于三边的等式进行适当变形,利用余弦定理求角.
例2 在△ABC中,已知,
,B=45°,求A、C和c.
分析 这是已知两边一对角解三角形的问题,可用正弦定理求解,但先要判定△ABC是否有解,有几解,亦可用余弦定理求解.
解 ∵B=45°<90°,且b
由正弦定理得
例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
解 如图,连结BD,则有四边形ABCD的面积
由余弦定理,在△ABD中
BD=AB+AD—2AB·ADcosA
=2+4—2×2×4cosA
=20—16cosA.
在△CDB中,
BD=CB+CD—2CB·CDcosC
=6+4—2×6×4cosC
=52—48cosC.
∵20—16cosA=52—48cosC,
∵cosC=—cosA,
∴64cosA=—32,cosA=—1/2.
∴A=120°,∴.
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