等腰三角形性质

1．等腰三角形是轴对称图形．

2．等腰三角形中顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．

3．等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)．

例1 在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是＿＿．

答 15°．

[解析] ∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠ABC=(180°－50°)÷2=65°．

∵DE垂直平分AB，

∴∠DBA=∠A=50°．

∴∠DBC=∠ABC－∠DBA=15°．

[解析] 本题考查垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．

例2 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连BE、CE，求证：BE=CE．

证明：∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴∠BAD=∠CAD．

在△BAE和△CAE中，

∴△BAE≌△CAE．

∴BE=CE．

例3 已知：如图，在△ABC中，AB=AC．

(1)按照下列要求画出图形：

①作∠BAC的平分线交BC于点D；

②过D作DE⊥AB，垂足为点E；

③过D作DF⊥AC，垂足为点F．

(2)根据上面所画的图形，求证：EB=FC．

解 (1)画出的图形如图所示

证明

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．

∴∠DEB=∠DFC=90°．

∴△DEB≌△DFC．

∴EB=FC．

[解析] 本题主要考查考生根据题意作出正确图形的画图能力及三角形全等的证明方法，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理的应用．

例4 只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：

(1)在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴；

①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；

②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．

(2)在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．

图1

图2

解 (1)画出的图如下

(2)画图方法：

①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD．

②连接CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E．

③画直线OE．

直线OE即为∠AOB的对称轴．