两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长，叫做两条异面直线的距离．

例 空间四边形ABCD，连结对角线AC和BD，E，F分别是BC，AD中点，AB=BC=CD=DA=AC=BD，如图(1)求证：EF是异面直线BC，AD的公垂线．

(2)设AB=a，求异面直线BC，AD间的距离．

策略 欲证EF是异面直线BC，AD的公垂线，已知EF与它们都相交，只要证EF与它们都垂直即可，这可通过已知条件构造等腰三角形即可实现．

证明 (1)连结FB，FC．

∵AB=BC=CD=DA=BD=AC，

∴△ABD≌△ADC且为等边三角形．

∵F为AD中点，

∴CF=FB(全等三角形的中线长相等)，

则△FBC为等腰三角形，E为底边BC的中点，

∴EF⊥BC．

连结EA，ED，同理可证EF⊥AD，

又∵EF与AD，BC都相交，∴EF是AD，BC的公垂线．

(2)由(1)的证明知EF是AD、BC的公垂线．

∴EF的长就是这两条异面直线间的距离．

∵AB=a，在等腰△FBC中，FB=FC=，

在Rt△BEF中，

EF=BF—BE

即异面直线BC，AD间的距离为．

点评 证明一条线段是异面直线的公垂线时要注意证明两点：①垂直；②相交．