三角函数的性质

例1 下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )．

解 观察四个选项知四个函数都是偶函数，故只须判断哪个函数在(0，π)上单调递增即可，结合三角函数的图象知答案为C．

例2 已知函数f(x)=cosx—2sinxcosx—sinx．

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若x∈[0，]，求f(x)的最大值、最小值．

分析 本题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力．

解 (Ⅰ)

因为f(x)=cosx—2sinxcosx—sinx．

　　　　=(cosx+sinx)(cosx—sinx)—sin2x

　　　　=cos2x—sin2x，

所以f(x)的最小正周期，

(Ⅱ)因为，所以 ．

当时，取得最大值；当时，取得最小值—1，所以f(x)在[0，]上的最大值为1，最小值为．

例3 求下列函数的定义域．

①f(x)=log(1+2cosx)；

②f(x)=lg(sinx—cosx)．

分析 解这类题实际上就是解三角不等式或不等式组，要充分利用单位圆和三角函数的图象辅助求解，对三角不等式组要将各个不等式的解的区域在单位圆中表示出来后，求得公共区域，再写出其解集．

解①

画出单位圆，标出各不等式的解的区域则公共区域一目了然，即或．

故f(x)的定义域为

②由题意知sinx—cosx>0，即sinx>cosx

由单位圆中的三角函数线图知，直线y=x的左上方区域即是sinx>cosx的解的区域．

∴f(x)的定义域为 ．

例4 求下列函数的值域：

分析 将原函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B，y=Acos(ωx+φ)+B型，或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，利用换元法进行配方可解决问题．

∴y=4，当且仅当cosx=1时取得，但cosx≠1，∴y<4．

∴y=—1/2，当且仅当cosx=—1/2时取得．故该函数的值域为[—1/2，4)．

∴该函数的值域为．

评析 在求函数的值域时，应注意其定义域．

例5 判断下列函数的奇偶性：

解 (1)定义域为e—e≠0，

∴sinx≠0 即x≠kπ(k∈Z)定义域关于原点对称．

∴该函数是奇函数．

(2)∵时，1+sinx+cosx=2，而时，1+sinx+cosx=0函数无意义，

∴函数的定义域不关于原点对称．∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．

(3)∵y=sinx—cosx+cos2x

　　　=(sinx+cosx)(sinx—cosx)+cos2x

　　　=—cos2x+cos2x=0，

∴该函数既是奇函数，又是偶函数．

评析 讨论函数奇偶性应先考虑函数定义域是否关于原点对称，是函数为奇、偶函数的必要条件．