三角形的内切圆

和三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

注意 1．三角形的内切圆只有一个．

2．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部．

例1 已知AB是☉O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )．

A．AB与☉O相切于点C，CD是直径

B．CD经过圆心O

C．CD是直径

D．AB与☉O相切于点C

答 A．

[解析] 圆的切线有无数条，直径也有无数条，但给定一条切线后，它仅仅与过这个切点的半径(直径)垂直．

例2 三角形的内心在它的一条高上，这个三角形一定是( )．

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

答 A．

[解析] 根据等腰三角形三线合一，底边上的高即为顶角的角平分线，三角形内心本来是在三角形内角平分线上，既然在它的一条高上，满足等腰三角形即可，若是在三条高上则选B．

例3 如图，D是☉O直径AB延长线上一点，PD切☉O于P点，，求∠PDA．

解 连结OP．

∵PD切☉O于P点，∴∠OPD=90°

∵OA=OP，∴∠OPA=30°，

∴∠POD=60°．

在Rt△OPD中，∠PDA=30°．

例4 如图：AB为☉O的直径，AB=AC，BC与☉O相交于D点，DE⊥AC垂足为E，求证：DE是☉O的切线．

证明 连接OD∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵OB=OD，∴∠B=∠1．∴∠1=∠C．

∴OD∥AC．∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD．∵OD为半径，

∴DE为☉O切线．

例5 已知：如图直线l与☉O相切于点A，P是l上一点，以P为圆心PA为半径的☉P与☉O相交于点B，求证：PB是☉O的切线．

证明 连接OA、OB、OP．

∵l与☉O相切于点A，

∴OA⊥l．∴∠OAP=90°．

又∵OA=OB，PA=PB，OP=OP．

∴△OAP≌△OBP．

∴∠OBP=∠OAP=90°．

∴PB⊥OB．

∵OB为☉O半径，

∴PB是☉O的切线．

例6 如图AB是☉O的直径，☉O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．

由这些条件，你能推出哪些正确结论?(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可)．

答 (下列结论可供选择)

(1)DE是☉O的切线．

(2)AB=BC．

(3)∠A=∠C．

(4)DE=BE·CE．

(5)CD=CE·CB．

(6)∠C+∠CDE=90°．

(7)CE+DE=CD．