图形的变化与坐标的变化

在平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小后，点的坐标也随之发生变化．

1．平移：当图向左(向右)平移一个单位时，图形对应点的横坐标减去(加上)一个单位，纵坐标不变；当图形向上(向下)平移一个单位时，图形对应点的纵坐标加上(减去)一个单位，横坐标不变．

2．旋转：当图形关于坐标原点对称时，两个图形的对应点的横、纵坐标均互为相反数．

3．轴对称：当图形关于x轴对称时，图形对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；当图形关于y轴对称时，图形对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．

4．放大或缩小：当图形横向扩大n倍(缩小1/n)，纵向不变时，图形对应点的横坐标扩大n倍(缩小1/n)，纵坐标不变；当图形横向不变，纵向扩大n倍(缩小1/n)时，图形对应点的横坐标不变，纵坐标扩大n倍(缩小1/n)．

例1 下面在直角坐标系中，通过图1中的“A”经过变换分别变成图2至图6中的相应图案(虚线表示原图案)，试写出图1至图6中各顶点的坐标，探索每次变化前后图案发生了什么变化?对应点的坐标之间有什么关系?

图1

图2

图3

图4

图5

图6

答 图2，各个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大2倍，其顶点坐标为(4，4)，

图形横向扩大2倍．

图3，各个点的纵坐标保持不变，横坐标都加2，其顶点坐标为(4，4)，

图形向右平移2个单位．

图4，各个点的横坐标不变，纵坐标乘以－1，其顶点坐标为(2，－4)，

图形关于x轴对称．

图5，各个点的横坐标不变，纵坐标扩大2倍，其顶点坐标为(2，8)，

图形纵向扩大2倍．

图6，各个点的横纵坐标都扩大2倍，其顶点坐标为(4，8)，

图形横向、纵向均扩大2倍．

例2 若一个△ABC的三个点的纵坐标不变，横坐标都扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，则这两个三角形的关系是( )．

A．纵向拉长为原来的3倍，横坐标不变

B．横向拉长为原来的3倍，纵坐标不变

C．横向、纵向都拉长为原来的3倍

D．横向、纵向都没有发生变化

答 B．

例3 在平面直角坐标系中，已知点A(m，n)，将点A沿x轴正方向平移8个单位得点B，把点B沿y轴正方向平移6个单位得点C，下列结论不正确的是( )．

A．△ABC是直角三角形

B．AC边的长为10

C．△ABC的面积是48

D．△ABC的面积是24

答 C．

[解析] 得到的是Rt△ABC，AB=8，BC=6，AC=10．

S=1/2×6×8=24．

例4 △ABC三点的坐标分别为A(－3，5)，B(1，3)，C(3，6)；△DEF三点的坐标分别为D(－1，7)，E(3，5)，F(5，8)，则下列说法正确的是( )．

A．△ABC沿x轴负方向、y轴正方向各平移2个单位得△DEF

B．△DEF沿x轴正方向、y轴正方向各平移2个单位得△ABC

C．△ABC沿x轴正方向、y轴负方向各平移2个单位得△DEF

D．△DEF沿x轴负方向、y轴负方向各平移2个单位得△ABC

答 D．

[解析] △DEF各点的横、纵坐标分别减2得到△ABC各点的横、纵坐标，故选D．

例5 如图为风筝的图案．

(1)写出图中所标各顶点的坐标；

(2)横坐标分别乘以－2，纵坐标保持不变，所得各点的坐标分别是什么?所得图案与原来的图案相比有什么变化?

答 (1)A(0，3)，B(－2，1)，C(0，－2)，D(－2，－1)，E(2，－1)，F(2，1)．

(2)A′(0，3)，B′(4，1)，C′(0，－2)，D′(4，－1)，E′(－4，－1)，F′(－4，1)．

所得图案与原图案相比，纵向不变，横向扩大2倍后，关于y轴对称，且面积变为原来的2倍．