平面的投影变换

平面的投影变换，有三种基本情况。

一、将一般位置平面变换为投影面垂直面

因为与一般位置平面相垂直的平面可作为一般位置平面或投影面垂直面。而处于投影面垂直面位置的平面，可作为新投影面与保留的旧投影面相垂直，构成新的两投影面体系，所以将一般位置平面变换为投影面垂直面只需一次换面，其目的主要是求得平面对投影面的倾角或方便求解有关的度量和定位问题。

如图3-10a所示，△ABC为一般位置平面，要将其变换为投影面垂直面，只需使属于该平面的任一条直线垂直与新投影面。但要把△ABC上的一般位置直线变换为投影面垂直线，必须两次换面，而把△ABC上的投影面平行线变换为投影面垂直线只需一次换面。因此，在一般位置平面△ABC上任取一条投影面平行线为辅助线，再取与它垂直的平面为新投影面，则该平面也就和新投影面垂直。

现将一般位置平面△ABC变换为V面的垂直面。作图步骤如图3-10b所示：

（1）在△ABC平面上作一水平线KC（k c，k′c′）。

（2）作新投影轴X⊥k c，得新的两投影面体系H/ V。

（3）求出A、B、C各点在V面上的投影a′、b′、c′，a′、b′、c′必连成同一直线a′b′c′，即为△ABC在它所垂直的新投影面V上的有积聚性的新投影。这样，△ABC 平面在H/V体系中变为投影面V的垂直面，新投影a′b′c′与X轴的夹角即为△ABC平面和H面的倾角α。

同理，通过一次换面，也可以将一般位置平面变换为H面的垂直面，则该平面的H面投影积聚为一直线，它与X轴的夹角即为平面与V面的倾角β。

由此可见，通过一次换面可以将一般位置平面变换为投影面垂直面，为此，先要在这个平面上作一条平行于所保留的投影面的平行线，新投影轴应垂直于这条投影面平行线所保留的反映实长的投影。

 

 二、将投影面垂直面变换为投影面平行面

因为与投影面垂直面相平行的平面可作为新投影面，它与所保留的旧投影面相垂直，构成新的两投影面体系，所以，将投影面垂直面变换为投影面平行面只需一次换面。其目的主要是求得平面真形，以及方便求解有关的度量和定位问题。

图3-11a为将铅垂面变换为V面的平行面的空间情况。保留投影面垂直面有积聚性的投影a b c，再作一新投影面V与该平面平行，显然，这个新投影面V必定和保留的投影面H互相垂直，可与H面组成新的两投影面体系V/H。所以将处于铅垂面位置的投影面垂直面变换为投影面平行面，需变换V面，保留H面，使△ABC平面在V/H体系中变换为V面的平行面，它在V面的投影反映真形。

作图步骤（如图3-11b所示）：

（1）作X∥c a b，组成新的两投影面体系V/H。

（2）按投影变换的基本作图法求得A、B、C的新投影a′、b′、c′，并连a成△a′b′c′，则△a′b′c′即为△ABC平面在V面的新投影，即将V/H中的铅垂面△ABC变换为V/H中的V面的平行面，它在V面上的投影△a′b′c′反映△ABC平面的真形。

同理，将处于正垂面位置的投影面垂直面变换成投影面平行面，需换H面，保留V面，它在H面上的投影反映真形。

由此可见，通过一次换面，可以将投影面垂直面变换为投影面平行面。新投影轴应平行于这个平面所保留的有积聚性的投影。

 

三、将一般位置平面变换为投影面平行面

若把一般位置平面变换为投影面平行面，变换一次 影面是办不到的。因为，与一般位置平面平行的新投影面也一定还是一般位置的平面，它与V/H体系中的哪一个投影面都不垂直，即不能构成新的两投影面体系。要解决这个问题，必须变换两次投影面，第一次将一般 置平面变换为投影面垂直面，如图3-12中的a′b′c′（同前述基本情况一）；第二次再将投影面垂直面变换为投影面平行面，如图3-12中的△a2b2c2（同前述的基本情况二）。

作图步骤（如图3-12所示）：

（1）  △ABC平面变换为投影面的垂直面。在△ABC平面中取一水平线CD（c′d′,c d），取X⊥c d ,组成H/V体系，求得a′、c′、b′，这三点必在同一直线上，则△ABC变换为V面的垂直面。

（2） 将△ABC平面再变换为投影面平行面（即将第一次换后的Vf垂直面△ABC变换为H面平行面）。作X∥a′b′c′，组成V/H新的两投影面体系，使V/H中的V面垂直面△ABC变换为H面的平行面，从而求得△abc，即为△ABC平面在H面上的新投影，反映真形。

如图3-13所示，也可以在△ABC中取一正平线AD，取X⊥a′d′，组成V/H 新的体系，求得积聚成一直线的H面投影bac；再作X5bac，组成V/H新的两投影面体系，使△ABC平面变换为V面的平行面，从而求得△a′b′c′，即为△ABC平面在V面上的新投影，反映真形。

由此可见，将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换"，即先将一般位置平面变换为投影面垂直面，再将投影面垂直面变换为投影面平行面。

[例3-2]   如图3-14所示，求相交两平面的夹角。

分析   如图3-14a所示，两相交平面之间的夹角即为该平面间的两面角。当两平面的交线垂直于某一投影面时，两平面必垂直于该投影面，两平面在该投影面上的投影积聚为两相交直线，它们之间的夹角即为两平面的夹角。因此，只要使两平面的交线AB经过两次变换后，其投影ab积聚为一点，则两平面各积聚为一直线a (b)(c)d与a (b)（f）e，其夹角θ即为所求。

 

作图步骤（如图3-14b所示）：

（1） 第一次变换作X∥a b（AB为两平面的交线）；

（2） 在新投影面V上求出相交两平面的投影a′b′c′ d′和a′b′f′e′；

（3）第二次变换作X⊥a′b′，在H面上求出相交两平面的投影a (b)(c)d和a (b)（f）e，两个平面均成为H面的垂直面，故H面投影积聚为两条直线，其夹角θ即为所求。

[例3-3]   如图3-15a所示，已知平面图形的真形及一边AB的投影，作出其正面投影和水平投影。

分析   如图3-15a 所示，反映已知平面图形为真形，要经过两次换面，将平面图变换为V面的垂直线，则已知平面图形成为V面的垂直面，AB的V面投影积聚为一点。在V/H中已知平面必为H面的平行面，故可用底边AB的已知投影求出在V面上的投影（积聚成点），可按题目给定的方位作出这个平面图形的V面投影（积聚成直线）。然后，作地二次变换，将这个V面垂直面变换为H面平行面，便可在V/H体系中完成这个平面图形的两面投影作图再分别求出投影轴X、X，最后，按投影变换基本作图法逐步返回，作出这个平面图形的水平投影和正面投影。

作图步骤（如图3-15b）：

（1）延长a b和ab，得交点a′（b′）即为AB 边一次变换后积聚的投影。

（2）作X∥a b，并使a′（b′）至X轴的距离等于b′（或a′）至X轴=距离。

（3）作X⊥ab，并使b至X轴的距离等于b至X轴的距离。

（4） V/H体系中，过点a′（b′）作一直线平行于X轴，由e、c、d、′）e′（f′）c′（d′）即为该平面图形在V面上的积聚投影。

（5）在H/V体系中，过c′、（d′）、e′、（f′）引垂直于X轴的投影连线，并在H面内截取e、c、d、f至X轴距离等于相应的e、c、d、f至X轴的距离， 得e、c、d、f，连a=e、c、d、f、b得a e c d f b a即为该平面图形的H面投影。

（6）V/H体系中，过e、c、d、f引垂直于X轴的投影连线，并在V面内截取e′、c′、d′、f′至X轴距离等于相应e′、c′、（d′）、（f′）至X轴的距离，得e′、c′、d′、f′，连a′、e′、c′、d′、f′、b′得a′e′c′d′f′b′a′即为该平面图形的V面投影。