三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

例1 已知Rt△ABC，斜边BC∥平面α，A∈α，AB，AC分别与平面α成30°和45°角，已知BC=6，试求BC到平面α的距离．

策略 求平行线与平面的距离，通常转化为点到平面的距离，本题解题的关键是如何将已知条件中AB，AC与平面α所成的角在图中表示并合理运用．

解 如图作BB⊥α，B为垂足，作CC⊥α，C为垂足，连AB，AC，则∠BAB=30°，∠CAC=45°，设CC=x，则

又∵BC∥α，∴BB=CC=x，AB=2x．

在Rt△ABC中，BC=6，∠BAC=90°，

∴BC=AC+AB，即36=2x+4x，∴．

即BC到平面α的距离为．

例2 证明 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角．

证明 设l是平面α的一条斜线，l′是l在α内的射影，点O是斜足，m是α内任一条与l′不平行的直线．

若直线m过点O，则由教科书所述，l与m所成的角不小于l与l′所成的角θ．

若直线m不过点O(如图)，则过点O作直线m′，使m′∥m，m与l所成的角等于m′与l所成的角，从而m与l所成的角大于θ．

例3 在正方体ABCD—ABCD中

求证：BD⊥平面ACB．

策略 利用三垂线定理证明，但要把BD在平面AC内的射影和BD在平面AB内的射影找出来，关键找“垂足”．

证明 连结BD，BC，如图．

∵DD⊥平面AC，D为垂足，∴BD是BD在平面AC内的射影，∵BD⊥AC，∴BD⊥AC(三垂线定理)．

连结AB，∵AD⊥平面AB，A为垂足，

∴AB为BD在平面AB内的射影．

∵AB⊥AB，∴BD⊥AB．

点评 应用三垂线定理及其逆定理时，一般按以下顺序思考：(1)找平面垂线；(2)找平面内直线a；(3)若a垂直于射影，则a垂直于它的斜线，反之亦然．