平面上的直线和点

一、 平面上的直线

直线在平面上手杖件是：直线必通过平面上两点，或必通过颊上一点，且平行于平面上的任一直线。

如图2—35所示，AB、AC为两相交直线，点M在直线AB上，点N在直线AC上，则直线MN必在AB与BC两相交直线所决定的平面P上。

又如图2—36所示，DE与EF两相交 直线 决定一平面Q，今在DE上取一点M，过M作MN∥EF，则N必定在Q平面上。

二、平面上的点

点在平面上的条件是：如果点在平面的某一直线上， 则此点必在该平面上。

如图2—37所示，两相交直线AB和BC决定一平面，点D在直线AB上，点E在直线BC上n此点D及点E均在AB和BC所决定的平面上。

[例2-6]如图2—38a所示，已知△ABC给定一平面-试判断D是否在该平面上。

分析  若点D能位于△ABC平面的一条直线上，则点D必在△ABC平面上，否则就不在△ABC所在平面上。

判断方法如图2—38b所示：

连接与并延长交于，求出e，再连接ae，判断d是天渊之别 在ae上。因d在ae上，故可知点D在直线AE上，所以点D必在△ABC平面上。也可以先连ad，用同样的方法判别。

[例2—7]  如图2—39a所示，完成四边形ABCD平面上的缺口EFGH的水平投影。已知∥，∥。

分析: 运用平面上取点和直线的作图方法，即可作出四边形ABCD平面上的缺口EFGH各点的水平投影。

作图步骤（如图2—39b所示）：

(1) 延长交于，并在cd上求得l。因∥，所以过l作12∥bc。再由分别作投影连线与12相交于f、g，即为F、G两点水平投影。

(2) 因∥，所以由g作gh∥ba交ad于h，即得GH的水平投影gh。

(3) 延长，交于。由作投影连线，与ab相交于3。连接3与f,延长后交ad于e，即得EF的水平投影ef，efgh即为缺口EFGH的水平投影。

本题也可按图2—39c所示的方法求得缺口的水平投影。

[例2—8]  如图2—40a所示，已知铅垂面△ABC上一点K的正面投影，试求其水平投影k。

分析:由于已知颊为铅垂面，其水平投影有积聚性，所以平面上的点的水平投影也必在该平面的有积聚性的水平投影上。

作图步骤（如图2—40b所示）：

根据投影关系，由引垂直于OX由的直线交abc于k，则k即为点K的水平投影。

二、  平面上的投影面平行线

一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。特殊位置平面上存在哪些种类直线 ，请读者自n分析。

在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。它又分为：平面上的正平线，平面上的水平线，平面上的侧平线。这引起步骤关系，又具有投影面平行线的投n我特性。

如图2—41a所示，AD为△ABC平面上的正平线，CE为△ABC平面上的水平线，BF为△ABC平面上的侧平线。△ABC及其上的三种投影面平行线的三面投影分别如图2—41b、c、d所示。

由于相交两直线可确定一平面，而平面上又存在投影面平行线，故可用一对相交的几方面平行线表示平面，以方便解题。

[例2—9]  如图2—42a所示，在△ABC平面上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。

分析  因点K在△ABC平面上，在点K在点A之下15mm处，可作平面上的水平线MN再在点Ap前20mm处作平面上的正平线EF，则点K必在两辅助线MN和EF的交点上，点K即为所求。

作图步骤（如图2—42a、b所示）：

(1) 由点A的V面投影向下取15mm，作∥OX轴，求出直线MN的水平投影mn。

(2) 由点A的H面投影a向前取20mm，作ef∥OX轴,再求出直线 EF的正面投影。

(3) EF（ef、）与MN（mn、）的交点K（k、）即为所求。