平面立体的投影及其表面取点

由于平面立体的表面四有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面立体的投影可归结为回子它的各表面的投影。平面立体各表面的交线称为棱线。平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。作图时，应判别其可见性，把可见棱线的投影画成粗实线，不可见棱线的投影成虚线。

一、棱柱

（一棱柱的投影

图4—1所示为一正放（立体的表面、对称平面、回转轴线相对于投影面处于平行或垂直位置）的正六棱柱直观图及投影图。正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成。顶面、底面分别由六条底棱线围成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条低棱线围成的（矩形）。

1.投影分析

（1）正六棱柱的顶面、底面 均为水平面，其水平投影反映顶面、底面的真形，且互相重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。

（2）六个侧棱面 其前后两个棱面为正平面，其水平投影重合，且反映真形；水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应轴的直线。其余四个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线；正面投影和侧面投影均为类似形（矩形），且两侧棱面投影对应重合。由于六个侧棱面的水平投影均有积聚性，故与顶啊⒌酌姹呦撸ǖ桌庀撸┑乃平投影重合。

（3）棱线 顶、底面各有六条底棱线，其总前、后两条为侧垂线，四条为水平线；而六条侧棱线均为铅垂线。它们的三面投影，请读者<行分析。

2.作图步骤

画正放棱柱（如正六棱柱）的投影图时，一般先画出对称中心线，对称线，再画出棱柱水平投影（如正六边形）；然后根据投影关系画出它的正面投影和侧面投影。应注意当棱线投影与对称重合（如图中棱线AAo侧面投影a〃a〃o）时应画成粗实线.

(二)棱柱表面上取点

在平面立体表面上取点,其原理和方法与平面上取点p同,由于正放棱柱的各个表面都处于特殊位置,因此,在其表面上取点均可利用平面投影积聚性作图,并表面可见性.例如,在增六棱柱表面上有一点M,已知其正面投影m〃,要作出水平和侧面投影(图4—2).由于点M的正面投影是可见的,所以点M必定的左前方的AaoBoB上(参阅4—1a).而该棱面的铅垂面,因此点M的水平投影m必在该棱面有积聚性的水平投影aa%b b直线上,再根据投影关系由m’和(m)求出m’.由于棱面AAoBoB处于左前方，侧面投影可见，E以其上的点M的侧面投影也可见，它的水平投影（m）不可见。又如，已知点N的水平投影n，求n’和n〃.由于n可见,所以点N必定在顶面上,而顶面为水平面,其正面投影和侧面投影都具有积聚性.因此,(n’)、（n〃）也必分别在顶面的正面投影和侧面投影所积聚的直线上，均不可见。

二、棱锥

（一）棱锥的投影

图4—3所示为一正放的正三棱锥直观图及投影图。正三棱锥有地面和三个侧棱面围成。底面又由三条棱线围成（正三角形），三个侧棱面由三条侧棱线和三条底棱线围成（三个真形大小相等的等腰s角形）。

1.投影分析

（1）正三棱锥底面△ABC为水平面，其水平投影△a b c反映真形，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线a′b′c′和a〃（c〃）b〃。

（2）三个侧棱面中的左右两个侧棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，其三面投影均不反映真形，且侧面投影重合。

（3）后侧棱面△SAC为侧垂面（因含侧垂线AC），其侧面投影积聚成斜向直线s〃a〃（c〃）,正面投影△s′a′c′和水平投影△sac均不反映真形，且正面投影△s′a′c′与△s′a′b′、△ s′b′c′重合。

（4）三个侧棱面△SAB、△SBC、△SCA的水平投影△s a b、△s b c、△s c a与底面△ABC的水平投影△a b c重p。

（5）底面的三条底棱线中有两条是水平线AB和BC，一条是侧垂线AC；而三条侧冷县总，有两条是一般位置直线SA和SC，一条是侧平线SB，它们的三面投影，请读者自行分析。

2.作图步骤

画正放的正三棱锥的投影图是哦，一i可先画出底面的水平投影（正三角形）和底面的另两个投影（均积聚为直线）；再画出锥顶的三个投影；然后将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来，即得正三棱锥的三面投影。也可先画出三棱锥（底面和三个侧棱面）的一个投影（如水平投影），再依照投影关系画出另两个投影。

（二）    棱锥表面上取点

在棱锥表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同，如果点在立体的特殊平面上，则可利用该平面投影有积聚性作图；如果点在立体的一般位置平面上，则可利用辅助线作图，并表明可见性。如图4—4所示，并参阅图4—3a，在正三棱锥表面上有一点E，已知其正面投影e’,要作出e和e〃。其作图原理与在平面上取点时相同。由于e可见，所以点E在左棱面△SAB（一般位置平面）上，欲求点E的另两个投影e、e〃，必须利用辅助线作图，具体方法可有以下三种：

（1）过点E和锥顶作辅助直线s I,其正面投影s′I′必通过e’;求出辅助线sI的水平投影s I和侧面投影s〃I〃，则点E水平投影e必在s I上，侧面投影也必在s〃I〃上。

（2）也可过点E作底棱AB的平行线ⅡⅢ，则2’3’//a’b’且通过e’,求出ⅡⅢ的水平投影(23//ab,必通过e)和侧面投影(2〃3〃//a〃b〃,也必通过e〃).

（3）也可过欲求点在该点所在的棱面上作任意直线.先求出该辅助直线的投影,再求出点的投影(为使图形清晰,图中未示出).

由于侧棱面△SAB处于左方,侧面投影可见,故其上的点E的侧面投影e〃水平投影e也可见.又如已知点F的水平投影f,求f’和f〃.由于f可见,所以知点F是在后棱面△SAC上,而不是在底面△ABC上.侧棱面△SAC是侧垂面,其侧面投影具有积聚性,故f〃可利用积聚性直接求出,即(f〃)必在s〃a〃(c〃)直线是行,再由f和(f〃)求处(f’).由于侧棱p△SAC处于后方,正面投影不可见,故其上的点F的正投影(f〃)不可见,侧面投影(f〃)也不可见.